第六章 群

群的定义

设三元组(G, ,1)中G为集合,・为集G上的二元运算,1为G中一个元。 若(G,1)满足:

  • G1(乘法结合律):a・(b・c)=(a・b)・c,a,b,c∈G
  • G2(単位元):1・a=a・1=a,a∈G
  • G3(逆元):对a∈G,有a’∈G使得a・a=a’:a=1

则称G1)为群,简称群G,1称为群G的单位元,d’称为a的逆元。

若(G, ,1)还满足G4(交换律):a・b=b・a,a,b∈G,则称G为交换群。

若(G, ,1)仅满足G1,G2,则称G为有单位元的半群。

若(G, ,1)满足G1,G2,G4,则称G为有单位元的交换半群。

例(希尔密码)
在希尔密码( Hill Cipher)中加密变换为：

(y1y2…ym)=(x1x2……xm)M mod 26(y_1y_2…y_m)=(x_1x_2……x_m) M\ mod\ 26

这里密钥M∈GLm(Z26),xi,yi∈Z26,Z26={0,1,⋯ ,25}M \in G L_{m}\left(Z_{26}\right), x_{i}, y_{i} \in Z_{26}, Z_{26}=\{0,1, \cdots, 25\}为密文。

字母AB・Z分别对应0,1,25,加密前先将明文字母串变换为Z26上的数字串,然后再按上述表达式每次m个数字的将明文数字串变换为密文数字串,最后将密文数字串变换为密文字母串。

子群

定义：设(G, ,1)为群,A为G的子集合。若1∈A且(A, ,1)构成群,则 称A为G的子群,并记为A<G。

如何证明是不是子群？

例：证明nZ={0,士m,士2n…}为整数群(Z,+,0)的子群。

证:

  1. 证明是不是子集合：nZ⊆Zn Z \subseteq Z

  2. 0∈A

  3. 证明(nZ,+,0)为一个群

循环群

定义：若群G的每一个元都能表成一个元素a的方幂,则G称为由a生成的循环 群,记作G=<a>,a称为循环群G的生成元。

根据元素的阶的性质,循环群G=<a>共有两种类型:

  • 当生成元a是无限阶元素时,则G称为无限阶循环群。
  • 如果a的阶为n,即an=1,那么这时G=<a>=<1,a,a2,a"-l>,则G称为由a所生成的m阶循 环群,注意此时1,a,2,…,an-两两不同。